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| 問題 1 |
（1）Ａ・Ｂ・Ｃ3人のうちから1人を選ぶ方法は何通りか。
（2）Ａ・Ｂ・Ｃ3人のうちから2人を選ぶ方法は何通りか。 |
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キミたちの中には（1）は一瞬で答えが出るけれども、（2）はすぐには求められない、と思っている人がいるんじゃないかナ？そんなことはないんだよ。
実はこの2つの問題は見方を変えれば全く同じ問題で、（1）はもちろん（2）だって何もする必要がなくすぐに答えが出てしまうんだよ。えっ？どうしてかって？
ではこれから話すことをよく聞いてくれ。
（1）が3通りだってことはすぐわかると思う。
ぶ ?Ｃを選ぶ の 3通り だからだ。
問題は（2）だ。こちらは2人を選ばなければならないから（1）よりはヤヤコシイと思うかもしれないが、ここでよく考えてくれ。
2人を選ぶということは誰か1人をのけものにするということと同じだ。
つまり3人のうちどの1人をのけものにするかと考えれば、
?Ａをのけものにする ?Ｂをのけものにする ?Ｃをのけものにする の3通りあって、やはり 3通り あることになるんだ。
どうだい、簡単だろ？では次にいこう。
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| 問題 2 |
（1）Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ 5人のうちから2人を選ぶ方法は何通りか。
（2）Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ 5人のうちから3人を選ぶ方法は何通りか。 |
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これはさすがに一瞬で答えが出るというわけにはいかないな。だけど問題1と同じように問題2も（1）と（2）は見方を変えれば全く同じ問題だということに気づいてくれたかい？
なぜかというと、やはり2人を選ぶということは、3人をのけものにすることと同じで、のけものにする3人を選んでも同じことになるからだ。つまりこの問題では2人を選んでも3人を選んでも同じ答えになるわけで、それだったら数の少ない2人の方で考えた方が楽だ。
それではそもそも5人のうちから2人を選ぶ方法について考えてみよう。
（1）【?実際にすべての場合を書いてみる方法】
（Ａ，Ｂ）（Ａ，Ｃ）（Ａ，Ｄ）（Ａ，Ｅ）
（Ｂ，Ｃ）（Ｂ，Ｄ）（Ｂ，Ｅ）
（Ｃ，Ｄ）（Ｃ，Ｅ）
（Ｄ，Ｅ） 以上 10通り
ここで注意して欲しいことは、数え落としたり、ダブって数えたりしないように自分なりに規則的に書くことだ。
ここでは（ア）Ａを先頭にした場合 （イ）Ｂを先頭にした場合 （ウ）Ｃを先頭にした場合 （エ）Ｄを先頭にした場合の4つに分け、それぞれ行を変えて書いてみた。
それから逆の場合を入れないように注意してくれよ。これこそまさに順列と組み合わせの違いにかかわることで重要なところだ。
つまり（Ａ，Ｂ）（Ｂ，Ａ）を両方入れてしまうとただ2人を選んだだけではなく、その順番まで考えていることになってしまうからだ。この問題ではただ2人を選ぶだけでその2人のどちらが1番でどちらが2番で、なんて考える必要はないんだから、どちらか片方でいいんだよ。くれぐれも注意してくれよ。
【?計算で求める方法】
?の最後の方でした説明で、順列と組み合わせの違いがなんとなくわかってくれたかナ？
実は組み合わせを計算で求めるということは、このことを利用することなんだ。つまり組み合わせを求めるには、まず順列を求めてみて組み合わせとの違いに注目して求めるということなんだ。
ところで5人のうちから2人を選んで並べる方法の求め方を覚えているかい？
図（樹形図）を描いてもいいけど、計算で求める方法というのがあったよネ。
つまり、
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| 〈まず〉 |
〈次に〉 |
| Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの『5つ』のうちのどれかを入れる |
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| １番目に入れた文字を除く『4つ』の文字のどれかを入れる |
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ということだったネ。
ここでこの20通りを順番を考えなければ同じになってしまうグループどうしに分けてみよう。
ア．（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ａ） イ．（Ａ，Ｃ），（Ｃ，Ａ） ウ．（Ａ，Ｄ），（Ｄ，Ａ）
エ．（Ａ，Ｅ），（Ｅ，Ａ） オ．（Ｂ，Ｃ），（Ｃ，Ｂ） カ．（Ｂ，Ｄ），（Ｄ，Ｂ）
キ．（Ｂ，Ｅ），（Ｅ，Ｂ） ク．（Ｃ，Ｄ），（Ｄ，Ｃ） ケ．（Ｃ，Ｅ），（Ｅ，Ｃ）
コ．（Ｄ，Ｅ），（Ｅ，Ｄ）
すると10通りあることになるよネ。
気づいてくれたかナ？順番を変えなければ同じになってしまうグループというのはすべてが2通りずつになるということに。つまり、この場合の組み合わせとは、20通りの中に2つで１組のものが何組あるかを考えればよいことになり、
20÷2＝10 10通り で求めることになるんだ。
以上のことから
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（必勝アイテム）
2人を選ぶ組み合わせ＝2人を選んで並べる順列÷2 |
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ということになるネ。
（2）（1）ができれば（2）は簡単だったよネ。3人を選ぶということは2人をのけものにするということで、のけものにする2人を選べばいいわけだから，（1）と同じ 10通り |
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| 問題 3 |
（1）Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ・Ｆ・Ｇ 7人のうちから3人を選ぶ方法は何通りか。
（2）Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ・Ｆ・Ｇ 7人のうちから4人を選ぶ方法は何通りか。 |
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（1）これは数が多いから実際にすべての場合を書いてみるんじゃ大変だ。
だから計算で求めてみる。
計算で求めるときには、まず順列をだして、組み合わせとの違いに注目して求めるんだったよネ。ではやってみよう。
７人のうちから3人を選んで並べる方法は
| 1番目 |
× |
2番目 |
× |
3番目 |
＝ 210 |
| 7 |
6 |
5 |
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| 〈まず〉 |
〈次に〉 |
〈最後に〉 |
| Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ・Ｆ・Ｇの『7つ』のうちのどれかを入れる |
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| １番目に入れた文字を除く『6つ』の文字のどれかを入れる |
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| １番目と２番目に入れた文字を除く『5つ』の文字のどれかを入れる |
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になるよネ
ここでこの210通りを順番を考えなければ同じになってしまうグループどうしに分けてみよう。
(1) (A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)
(2) (A,B,D),(A,D,B),(B,A,D),(B,D,A),(D,A,B),(D,B,A)
(3) (A,B,E),・・・・・・・・・・・・・・・・・
(4) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(X) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
すると(X)が求める組み合わせになるわけなんだけど,順番を考えなければ同じになってしますグループは6通りずつに分かれることになるわけだから、結局、6つで1組のものが何組あるかと考えて
210 ÷ 6 ＝ 35 35通り となるわけだ。
以上のことから
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（必勝アイテム）
3人を選ぶ組み合わせ＝3人を選んで並べる順列÷6 |
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といえるネ。
（2）もうそろそろこれが（1）と同じ問題だと気づいてほしいところだけどどうかナ？つまり7人のうちから4人を選ぶということは、のけものにする３人を選ぶということだから、（1）と同じことをやればいいわけで、答えはやはり 35通り だよネ。 |
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| 問題 4 |
（1）1枚のコインを4回投げて3回表が出る場合は何通りか。
（2）1枚のコインを7回投げて4回表が出る場合は何通りか。 |
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（1）これを計算で出すのはばかばかしいよネ。もちろん3回表が出るということは1回は裏が出るということだから、何回目に裏が出るかと考えれば、4通りの場合があるわけで 4通り ということになるよネ。
（2）直接計算しても出せないことはないけれど、3回表が出ると考えた方が楽だからそちらで考える。
よって、7×6×5÷6＝35 35通り だよネ。
いままでやってきたことから次のことが言えると思う。
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（必勝アイテム）
直接考える場合とそれ以外について考える場合とで比べてみて、楽な方で答えを出すとよい。 |
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| 実力の目安 |
（配点）問題1：5点×2問 問題2〜4：15点×6問 合計100点
100点・・・難関高校レベル
90点以上・・中堅高校レベル
70点以上・・普通高校レベル
70点未満・・個別指導が必要 |
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