開催500回を超える研修会

　最近、大学入試改革が話題になっている。知識よりも考える力を大切にしようという方向性らしいが、十分な知識もない者が何を考えるというのかという疑問を私は持っている。
　考える力と言えば、中学入試の算数では、かなり前から考える力を大切にしてきている（ただし、十分な知識を前提としてだが）。そして、問題を見てみると、実はかなり高度な数学の内容を前提としている設問が多々ある。
　今回は、中学入試算数の問題の背後にある高等数学について少しお話させて戴きたい。

　碁石などを正三角形の形状に並べたとき、その総数を三角数という。

1,3,6,10,15,21、・・・・

　三角数は1から始まる連続した整数の和となる。

n番目の三角数＝（1＋n）×n÷2

　つまり、自然数列（初項1、公差1の等差数列）の和である。これは、高校数学Bで学習する内容だが、この公式は多くの中学受験生が知っていると思う。そして、例えば、「10番目の三角数を求めよ」といったような問題が多数出題されている。
　ちなみに、四角数、五角数、六角数などもあり、これを踏まえた問題も規則性の分野で出題が見られる。

　最上段と各段の両端の数が1で、それ以外はその位置の右上と左上の数の和となっている数の配置を、パスカルの三角形と言う。
　これは高校数学では二項定理のところで扱われる。パスカルの三角形の各段が、（a+b）のn乗の展開式の各項の係数、いわゆる二項係数になっているものだ。
これは非常に美しい三角形で、よく探すと、その三角形の中に自然数列や三角数、フィボナッチ数列などが存在しているとても不思議な三角形である。ぜひ、お暇があれば探してみてください。
　このパスカルの三角形の性質の一つとして、各段の数の和は、その上の段の数の和の2倍になっているというものがある。よく考えてみると、当たり前なのだが．．．
　このパスカルの三角形を題材とした問題もよく見かけるだろう。上に述べた各段の数の和の性質を使うと簡単に解ける問題もある。

　前の2つの数の和が次の数になる数列を、フィボナッチ数列と言う。

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

　高校数学の教科書にはあまり見かけないが、参考書には載っているものもある。難関大学を志望する受験生は勉強しておいた方がいいというレベルの高度な数列だ。
　ところで、中学受験の問題集で、「階段を1歩で1段あがる、または1歩で2段あがることができるとする。このとき6段の階段を上がる上がりかたは何通りありますか。」というような問題を解いたことがある人は多いだろう。
　これなども、フィボナッチ数列の基礎的な考え方が分かっていると簡単に解けてしまう問題となる。

　巣鴨中で近年出された問題を見てみよう。

　これなどはまさにフィボナッチ数列を扱っている。
　（2）が少し難しいと思うが、これは次の合同式の考え方を利用するのがよい。

　2つの整数a、bと正の整数mに対して、a−bがｍで割り切れるとき、「aとbはｍを法として合同である」という。
　簡単に言えば、余りによる分類である。例えば、3で割った余りを考えると、5と8は共に余りが2になるから、5と8は3を法として合同になるわけだ。
　これは高校数学の整数論で扱われる内容になる。
　この考え方を利用すると先ほどの（2）も難しくないと思う。

　これもやはり整数論で扱われる。
　私たちが普段使っている数は、数量を10ずつまとめて数えていくので10進法と呼ばれている。いわゆるn進法は、数量をnずつまとめていく考え方だ。2進法、3進法といった言い方を耳にしたことがあると思う。
　この考え方も、規則性の問題などで多く出題されているので、10進法の数をn進法の数に直す方法や、n進法の数を10進法の数に直す方法などは知っておくと便利であろう。

　これは、一方が他方を常に超えない状況が何通りあるか、を考えるとき利用できる考え方だ。
　具体的には、次のような数列になる。

1，2，5，14，42，132，429，1430，…

　このカタラン数は、高校教科書で扱っているものはおそらくないと思う。それほど高度なものなのだが、中学入試では、例えば、「○を4個、×を4個、左から順に合計8個並べます。ただし、×を置いた時に置かれた×の個数が○の個数を超えるような置き方はできません。このとき、8個の並べ方は何通りありますか。」というような形で出題される。
　答えは14通りなのだが、具体的に数え上げていくと大変面倒くさいと思われる。実はカタラン数は、対角線をまたがずに格子点を通ってスタートからゴールまで最短距離でつなぐ道順の総数でもあるので、よくある道順を数え上げる方法で解くことができる。

　以上、中学入試の問題の背後にあるちょっと難しい数学についていくつか取り上げてみた。小学生の解く問題が、実は深い背景を持っていて、考えてみるととても面白いところがよくあるということを、少しでもお伝えできていれば嬉しく思う。

　紙数の関係上、説明不足になったこと、どうぞお許しください。